Varianza y desvío estándar

1 · Definición

La varianza es el promedio de los desvíos respecto de la media, elevados al cuadrado. El desvío estándar es su raíz cuadrada.

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \qquad s = \sqrt{s^2}$$

2 · Para qué sirven

Una medida de posición sola no describe nada. Dos grupos pueden tener el mismo ingreso medio y realidades completamente distintas: en uno todos ganan parecido, en el otro hay pobreza y riqueza.

El desvío estándar cuantifica esa diferencia. Y además es la base de casi toda la estadística posterior: el puntaje z, el error estándar, los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis están todos construidos sobre él.

3 · Por qué se elevan al cuadrado los desvíos

Porque sin el cuadrado la cuenta daría siempre cero. Es una propiedad de la media:

$$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$$

Los apartamientos hacia arriba compensan exactamente a los de abajo. Hay dos formas de evitar esa compensación: tomar el valor absoluto —lo que da el desvío medio— o elevar al cuadrado.

Se elige el cuadrado por dos razones: es derivable, lo que permite trabajar algebraicamente con él, y penaliza más los apartamientos grandes, lo que resulta deseable en muchos contextos. El costo es que exagera el efecto de los valores extremos.

4 · Por qué se informa el desvío y no la varianza

Por las unidades. Si la variable está en pesos, la varianza está en pesos al cuadrado, que no significa nada. La raíz cuadrada devuelve la medida a la escala original y la vuelve interpretable.

La varianza aparece igual en todas las fórmulas —es la que tiene las propiedades matemáticas útiles— pero en un informe va el desvío estándar.

5 · El procedimiento

Paso 1. Calculá la media. Paso 2. Restá la media a cada valor: esos son los desvíos. Paso 3. Elevá cada desvío al cuadrado. Paso 4. Sumalos. Paso 5. Dividí por $n-1$ (ver por qué). Paso 6. Sacá la raíz cuadrada.

6 · Un ejemplo

Dos variables de la EPH del primer trimestre de 2026:

	Ingreso	Edad
Media	$1.104.227	41,0 años
Desvío estándar	$1.063.114	12,9 años
Coeficiente de variación	96,3 %	31,4 %

El desvío del ingreso es casi igual a su media: la dispersión es enorme. El de la edad es menos de un tercio de la media: los ocupados son mucho más parecidos entre sí en edad que en ingreso.

Esa comparación no se puede hacer directamente con los desvíos —uno está en pesos y el otro en años—: hace falta el coeficiente de variación, que los vuelve comparables.

7 · Cómo se informa

$$\bar{x} \pm s$$

La edad media fue de 41,0 años (DE = 12,9).

Se usa “DE” o “SD”, y siempre entre paréntesis después de la media. Escribir “41,0 ± 12,9” también es correcto, pero tiene un riesgo: se confunde con un intervalo de confianza, que es otra cosa. Conviene aclarar qué es lo que sigue al signo.

8 · Errores frecuentes

• Confundir desvío estándar con error estándar. El desvío describe la dispersión de los datos; el error estándar, la de la media muestral. El segundo es mucho más chico y se achica al crecer $n$. Es la confusión más frecuente de toda la materia.
• Informar la varianza. Está en unidades al cuadrado. Va el desvío.
• Informar “media ± desvío” en distribuciones muy asimétricas. Sugiere un rango simétrico que no existe.
• Comparar desvíos de variables en distintas unidades. Para eso está el coeficiente de variación.
• Usar la fórmula con $n$ cuando corresponde $n-1$. Excel tiene funciones separadas y elegir mal la función es un error silencioso.
• Olvidar que no es robusto. Un solo valor extremo lo infla mucho. Si el desvío parece desproporcionado, revisá los extremos antes de interpretarlo.

9 · En el software

# R — usa n−1 siempre
sd(datos$edad)
var(datos$edad)

# Con ponderadores
sqrt(Hmisc::wtd.var(datos$ingreso, datos$ponderador))

# Python — ojo con el grado de libertad
datos["edad"].std()        # pandas usa n−1 por defecto
np.std(datos["edad"])          # NumPy usa n por defecto
np.std(datos["edad"], ddof=1)  # para que coincida con pandas y R

Excel:    =DESVEST.M(rango)   muestra, n−1   ← la que casi siempre va
          =DESVEST.P(rango)   población, n
          =VAR.M / =VAR.P     lo mismo para la varianza
SPSS:     Descriptivos › Desviación estándar  (usa n−1)
InfoStat: Estadísticas › Medidas resumen › D.E.

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