Por qué se divide por n−1

1 · Definición

Al calcular la varianza de una muestra se divide por $n-1$ en lugar de por $n$. Esa corrección se llama corrección de Bessel, y el $n-1$ son los grados de libertad.

$$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \qquad\text{muestra}$$ $$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N} \qquad\text{población}$$

2 · El problema que resuelve

Cuando se calcula la varianza de una muestra, casi nunca se conoce la media poblacional $\mu$: se usa la media muestral $\bar{x}$ en su lugar.

Y acá está la clave: $\bar{x}$ es, por construcción, el valor que minimiza la suma de cuadrados de esa muestra. Ningún otro número —incluida la verdadera $\mu$— da una suma más chica.

Entonces la suma de cuadrados calculada alrededor de $\bar{x}$ es sistemáticamente menor que la que se obtendría alrededor de $\mu$. Dividir por $n$ arrastra ese defecto y subestima la varianza poblacional. Dividir por $n-1$ lo compensa exactamente.

En lenguaje técnico: con $n-1$ el estimador es insesgado, o sea que en promedio, sobre muchas muestras posibles, da el valor correcto.

3 · Qué son los grados de libertad

Otra forma de verlo, más intuitiva.

Los $n$ desvíos $(x_i - \bar{x})$ no son independientes entre sí: están atados por la restricción de que suman cero.

$$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$$

Si conocés $n-1$ de ellos, el último queda determinado: no tiene libertad de variar. Con diez datos hay diez desvíos, pero solo nueve piezas de información independientes.

Esa cantidad —cuántos valores pueden variar libremente— son los grados de libertad, y son el denominador correcto. La idea reaparece en toda la estadística: en la prueba t, en el chi-cuadrado, en el ANOVA, siempre se cuenta cuántos parámetros se estimaron a partir de los mismos datos.

4 · Cuándo corresponde cada uno

Situación	Denominador
Datos de una muestra, para estimar la población	$n-1$
Datos de toda la población (censo completo)	$N$
Describir solo el grupo observado, sin generalizar	$N$
Encuesta con ponderadores	peso total

En la práctica, casi siempre corresponde $n-1$, porque casi siempre se trabaja con muestras. Por eso R, pandas y SPSS lo usan por defecto.

5 · Cuánto cambia

La corrección importa poco con muchos datos y mucho con pocos:

$n$	$n/(n-1)$	Diferencia en el desvío
5	1,250	11,8 % más grande
10	1,111	5,4 %
30	1,034	1,7 %
100	1,010	0,5 %
15.448	1,0001	Despreciable

Con la muestra de ocupados de la EPH la diferencia aparece recién en el sexto dígito. Con cinco mediciones de laboratorio, en cambio, cambia el resultado de manera perceptible.

Eso explica una paradoja aparente: el tema se enseña mucho y casi nunca cambia una conclusión. Lo que sí cambia es entender de dónde salen los grados de libertad, que reaparecen en todas las pruebas de hipótesis.

6 · Errores frecuentes

• Elegir mal la función en Excel. DESVEST.M usa $n-1$ y DESVEST.P usa $n$. El nombre no ayuda: la “M” es de muestra y la “P” de población. La que casi siempre corresponde es la M.
• Mezclar NumPy con pandas. np.std() usa $n$ y .std() de pandas usa $n-1$. Dos números distintos para el mismo dato.
• Usar $n-1$ cuando se tiene toda la población. Si censaste los 22 hospitales de la provincia y querés describir solo esos 22, el denominador es 22.
• Creer que $n-1$ “corrige el sesgo del desvío estándar”. Corrige el de la varianza. La raíz cuadrada de un estimador insesgado no es insesgada: el desvío estándar calculado con $n-1$ sigue teniendo un sesgo chico. Es un detalle fino y no cambia la práctica, pero la frase precisa importa.
• Discutirlo con muestras grandes. Con $n$ mayor a unos cien, la diferencia es irrelevante para cualquier conclusión.

7 · En el software

# R usa n−1 siempre, sin opción
var(x); sd(x)

# Para la versión poblacional hay que corregir a mano
var(x) * (length(x) - 1) / length(x)

# Python: el parámetro se llama ddof (delta degrees of freedom)
datos["x"].std()              # pandas: ddof=1  → n−1
np.std(datos["x"])            # NumPy:  ddof=0  → n
np.std(datos["x"], ddof=1)    # NumPy con n−1

Excel:    =DESVEST.M(rango)   n−1   ← la habitual
          =DESVEST.P(rango)   n

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