Descomposición de la variabilidad

1 · La identidad

Toda la variabilidad de los datos se parte, sin pérdida ni resto, en dos:

$$\underbrace{\sum_{i}\sum_{j} (y_{ij} - \bar{y})^2}_{SC_{\text{total}}} = \underbrace{\sum_{i} n_i (\bar{y}_i - \bar{y})^2}_{SC_{\text{entre}}} + \underbrace{\sum_{i}\sum_{j} (y_{ij} - \bar{y}_i)^2}_{SC_{\text{dentro}}}$$

2 · Qué es cada parte

Suma de cuadrados	Mide	También se llama
Total	apartamiento de cada dato respecto de la media general	$SC_T$
Entre grupos	apartamiento de cada media de grupo respecto de la general	explicada, del factor, between
Dentro de los grupos	apartamiento de cada dato respecto de la media de su grupo	residual, del error, within

La idea intuitiva: cada dato se aparta de la media general por dos razones, por estar en el grupo que está y por ser el individuo que es. La identidad separa las dos contribuciones.

3 · Los grados de libertad también se descomponen

$$\underbrace{N-1}_{\text{total}} = \underbrace{k-1}_{\text{entre}} + \underbrace{N-k}_{\text{dentro}}$$

Es la segunda mitad de la descomposición y sirve de control: si en una tabla ANOVA los grados de libertad no suman, hay un error.

4 · De sumas a cuadrados medios

Las sumas de cuadrados no son comparables entre sí porque se calculan sobre cantidades distintas de términos. Dividiendo cada una por sus grados de libertad se obtienen varianzas:

$$CM_{\text{entre}} = \frac{SC_{\text{entre}}}{k-1} \qquad CM_{\text{dentro}} = \frac{SC_{\text{dentro}}}{N-k}$$ $$F = \frac{CM_{\text{entre}}}{CM_{\text{dentro}}}$$

5 · El ejemplo

Fuente	Suma de cuadrados	gl	Cuadrado medio
Entre grupos	$1{,}0522 \times 10^{15}$	5	$2{,}1043 \times 10^{14}$
Dentro	$1{,}4479 \times 10^{16}$	15.359	$9{,}4268 \times 10^{11}$
Total	$1{,}5531 \times 10^{16}$	15.364

Verificación: $1{,}0522 + 14{,}479 = 15{,}531$ (en unidades de $10^{15}$), y $5 + 15.359 = 15.364$. Las dos descomposiciones cierran.

La suma de cuadrados dentro es catorce veces la de entre: la mayor parte de la variabilidad del ingreso ocurre adentro de cada nivel educativo, no entre niveles.

6 · De acá sale el tamaño del efecto

$$\eta^2 = \frac{SC_{\text{entre}}}{SC_{\text{total}}} = \frac{1{,}0522 \times 10^{15}}{1{,}5531 \times 10^{16}} = 0{,}068$$

7 · Por qué esto aparece en todos lados

La misma idea —partir la variabilidad en explicada y residual— es el motor de:

• El ANOVA de uno y de varios factores.
• El $R^2$ de cualquier regresión.
• La prueba F de significación global de un modelo.
• La comparación de modelos anidados.
• Los componentes de varianza de los modelos multinivel.

Entender la descomposición una vez sirve para todos.

8 · Errores frecuentes

• Sumar cuadrados medios. Solo se suman las sumas de cuadrados.
• Confundir $SC$ con $CM$.
• Olvidar el $n_i$ en la suma entre grupos: cada media pesa según el tamaño de su grupo.
• Calcular la suma dentro contra la media general en lugar de contra la media de cada grupo.
• No verificar que los grados de libertad sumen.
• Interpretar una $SC$ grande como efecto grande sin dividir por la total.

9 · En el software

# R — la tabla trae la descomposición completa
modelo <- aov(ingreso ~ factor(nivel_ed), data = d)
summary(modelo)

# A mano, para verla
sct <- sum((d$ingreso - mean(d$ingreso))^2)
scd <- sum(residuals(modelo)^2)
sce <- sct - scd
c(entre = sce, dentro = scd, total = sct)
sce / sct                          # eta² = 0.068

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