Coeficiente de determinación R²

1 · Definición

El coeficiente de determinación es la proporción de la variabilidad de $y$ que el modelo explica:

$$R^{2} = \frac{SC_{\text{regresión}}}{SC_{\text{total}}} = 1 - \frac{SC_{\text{residual}}}{SC_{\text{total}}}$$

2 · La descomposición

Toda la variabilidad de $y$ se parte en dos:

$$\underbrace{\sum (y_i - \bar{y})^2}_{\text{total}} = \underbrace{\sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2}_{\text{explicada}} + \underbrace{\sum (y_i - \hat{y}_i)^2}_{\text{residual}}$$

Componente	Qué es
Total	cuánto varían los datos alrededor de su media
Explicada	cuánto de eso reproduce la recta
Residual	lo que queda sin explicar

El $R^2$ es la primera dividida por la segunda. Es la misma descomposición que usa el ANOVA, lo que no es casualidad: son el mismo modelo visto de dos maneras.

3 · Cómo se interpreta

Entre horas trabajadas e ingreso, $R^2 = 0{,}062$.

Las horas trabajadas explican el 6,2 % de la variabilidad del ingreso de la ocupación principal. El 93,8 % restante depende de otros factores: el tipo de ocupación, la calificación, el sector, la antigüedad, la región.

4 · Qué valor es “bueno”

Depende por completo del campo, igual que con la correlación:

Campo	$R^2$ típico
Física o ingeniería con datos de laboratorio	0,95 o más
Modelos económicos agregados	0,7 – 0,9
Datos de encuesta a nivel individual	0,1 – 0,3
Predicción de comportamiento humano	0,05 – 0,2

5 · Lo que un R² alto NO garantiza

No garantiza que el modelo sea correcto. Una relación curva ajustada con una recta puede dar un $R^2$ alto y estar mal especificada. Hay que mirar los residuos.

No garantiza causalidad.

No garantiza capacidad predictiva fuera de la muestra. Un modelo con muchas variables puede tener $R^2$ alto por sobreajuste y fallar con datos nuevos.

No dice si las predicciones son útiles. Para eso hay que mirar el error estándar residual, que está en las unidades de $y$ y es mucho más interpretable.

6 · Sube siempre al agregar variables

En regresión múltiple, agregar cualquier variable no puede bajar el $R^2$, aunque sea ruido puro. Con suficientes variables se llega a 1 sin haber aprendido nada.

Por eso existen el $R^2$ ajustado, que penaliza la cantidad de predictores, y los criterios de información como AIC y BIC. Para comparar modelos con distinta cantidad de variables, el $R^2$ crudo no sirve.

7 · Errores frecuentes

• Interpretarlo como calidad del modelo en abstracto.
• Compararlo entre modelos con distinta variable dependiente. Solo es comparable con el mismo $y$.
• Usar el $R^2$ crudo para comparar modelos con distinta cantidad de predictores.
• Concluir causalidad desde un $R^2$ alto.
• Descartar un modelo por un $R^2$ bajo, cuando la pregunta es si existe la relación y de qué magnitud.
• Reportar solo el $R^2$ sin la pendiente ni su intervalo, que es lo que responde la pregunta sustantiva.
• Olvidar mirar los residuos.

8 · En el software

# R
modelo <- lm(ingreso ~ horas, data = d)
summary(modelo)$r.squared          # 0.0621
summary(modelo)$adj.r.squared

# La descomposición a mano
sct <- sum((d$ingreso - mean(d$ingreso))^2)
scr <- sum(residuals(modelo)^2)
1 - scr / sct                      # el mismo 0.0621

# Python
from scipy import stats
r = stats.linregress(horas, ingreso).rvalue
r**2

import statsmodels.formula.api as smf
smf.ols("ingreso ~ horas", data=d).fit().rsquared

Excel:    =COEFICIENTE.R2(y; x)
          o mostrar R² en la línea de tendencia del gráfico

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