R² ajustado, AIC y BIC

1 · El problema

$R^2$ nunca baja al agregar variables. Con suficientes predictoras se llega a 1 sin haber aprendido nada.

La demostración, agregando al modelo del ingreso tres variables generadas al azar, sin ninguna relación con nada:

Modelo	$k$	$R^2$	$R^2$ ajustado	AIC	BIC
Solo horas	1	0,06158	0,06151	430.126	430.141
+ edad	2	0,07209	0,07196	429.969	429.992
+ sexo	3	0,07963	0,07943	429.856	429.886
+ educación	5	0,14631	0,14601	428.797	428.842
+ 3 variables de ruido	8	0,14649	0,14601	428.800	428.868

2 · R² ajustado

$$R^2_{\text{aj}} = 1 - (1 - R^2)\frac{n-1}{n-k-1}$$

Penaliza la cantidad de predictoras: solo sube si la variable nueva aporta más de lo que cuesta en grados de libertad.

Puede bajar, y hasta dar negativo si el modelo es peor que la media.

3 · AIC y BIC

$$AIC = -2\ln(L) + 2k \qquad BIC = -2\ln(L) + k\ln(n)$$

Los dos tienen la misma estructura: falta de ajuste + penalización por complejidad. Y en los dos, menor es mejor.

	AIC	BIC
Penalización	$2k$	$k \ln(n)$
Con $n$ grande	más permisivo	mucho más exigente
Objetivo	predecir bien	encontrar el modelo “verdadero”
Tiende a elegir	modelos más grandes	modelos más chicos

4 · Cómo se usan

Solo sirven para comparar, no en términos absolutos: un AIC de 428.797 no significa nada por sí solo.

Y los modelos comparados tienen que tener:

• La misma variable dependiente, en la misma escala. Un modelo sobre $Y$ y otro sobre $\log Y$ no son comparables por AIC.
• Los mismos casos. Si un modelo pierde filas por valores faltantes, la comparación es inválida.

Diferencia de AIC	Evidencia a favor del menor
0 – 2	modelos equivalentes
4 – 7	considerablemente mejor
> 10	decididamente mejor

5 · Cuál usar

Objetivo	Criterio
Comunicar cuánto explica un modelo	$R^2$ (crudo)
Comparar modelos con distinta cantidad de variables	$R^2$ ajustado
Elegir un modelo para predecir	AIC
Elegir un modelo parsimonioso	BIC
Comparar modelos no anidados o no lineales	AIC o BIC
Evaluar capacidad predictiva real	validación cruzada

6 · Errores frecuentes

• Usar el $R^2$ crudo para comparar modelos con distinta cantidad de variables.
• Comparar AIC entre modelos con distinta variable dependiente.
• Comparar modelos ajustados sobre distinta cantidad de casos.
• Interpretar el AIC en términos absolutos.
• Elegir modelo solo por criterios automáticos, sin criterio sustantivo.
• Confundir el signo: en AIC y BIC, menor es mejor.
• Creer que el $R^2$ ajustado no puede bajar. Sí puede, y es su gracia.

7 · En el software

# R
summary(modelo)$r.squared
summary(modelo)$adj.r.squared
AIC(modelo); BIC(modelo)

# Comparar varios de una vez
AIC(m1, m2, m3)
BIC(m1, m2, m3)

# Modelos anidados: la prueba F
anova(m_chico, m_grande)

# Python
modelo.rsquared
modelo.rsquared_adj
modelo.aic
modelo.bic

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