Covarianza

1 · Definición

La covarianza mide en qué medida dos variables se apartan juntas de sus respectivas medias:

$$s_{xy} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1}$$

2 · Cómo se lee el signo

Cada caso aporta el producto de sus dos desvíos:

Caso	$x - \bar{x}$	$y - \bar{y}$	Producto
Alto en las dos	+	+	+
Bajo en las dos	−	−	+
Alto en una, bajo en otra	+	−	−

Si predominan los casos que van en el mismo sentido, la suma da positiva.

Signo	Significa
$s_{xy} > 0$	tienden a subir juntas
$s_{xy} < 0$	cuando una sube, la otra baja
$s_{xy} \approx 0$	no hay relación lineal

3 · El problema de la magnitud

La covarianza entre horas trabajadas e ingreso mensual, en la EPH, vale 4.107.509.

¿Eso es mucho? No se puede saber. La covarianza está en unidades de $x$ por unidades de $y$ —acá “horas × pesos”—, así que su magnitud depende por completo de las escalas:

• Si el ingreso se midiera en miles de pesos, la covarianza sería 4.107,5.
• Si las horas fueran mensuales en vez de semanales, se multiplicaría por 4,33.

$$r = \frac{s_{xy}}{s_x \, s_y}$$

4 · Dónde sigue apareciendo

Aunque no se la use para describir, la covarianza es una pieza estructural:

• La varianza de una suma: $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X,Y)$. Si son independientes el término desaparece, y de ahí sale que el error estándar sea $\sigma/\sqrt{n}$.
• La pendiente de la recta de mínimos cuadrados es $b_1 = s_{xy}/s_x^2$.
• La matriz de varianzas y covarianzas es el objeto central de todo el análisis multivariado: componentes principales, análisis factorial, regresión múltiple.
• En finanzas, la covarianza entre activos es lo que determina si una cartera diversifica riesgo.

5 · Errores frecuentes

• Interpretar la magnitud. Sin conocer las escalas no significa nada.
• Comparar covarianzas de pares distintos.
• Concluir independencia de una covarianza nula. Solo indica ausencia de relación lineal: una relación en forma de U puede tener covarianza cero.
• Olvidar el $n-1$ en la versión muestral.
• Confundirla con la correlación.
• Concluir causalidad por el signo.

6 · En el software

# R
cov(horas, ingreso)          # 4107509
cor(horas, ingreso)          # 0.249  la versión estandarizada

cov(datos)                   # matriz de covarianzas
var(x)                       # = cov(x, x)

# Python
import numpy as np
np.cov(horas, ingreso, ddof=1)[0, 1]
np.corrcoef(horas, ingreso)[0, 1]

Excel:    =COVARIANZA.M(rango1; rango2)    muestral, divide por n-1
          =COVARIANZA.P(rango1; rango2)    poblacional, divide por n

@misc{estadistica_ar_covarianza,
  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Covarianza}},
  year         = {2026},
  howpublished = {\url{https://estadistica.ar/conceptos/covarianza}},
  note         = {estadistica.ar. Consultado el \today},
  urldate      = {2026-09-18}
}