Varianza de una variable aleatoria

1 · Definición

La varianza de una variable aleatoria es la esperanza de los desvíos al cuadrado respecto de su esperanza:

$$\text{Var}(X) = E\bigl[(X - \mu)^2\bigr]$$

Y el desvío estándar es su raíz: $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$.

2 · La fórmula práctica

Calcular con la definición obliga a conocer $\mu$ primero y a recorrer los datos dos veces. Hay una forma equivalente mucho más cómoda:

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Se lee: la esperanza del cuadrado menos el cuadrado de la esperanza. Es la que se usa en los ejercicios, y su estructura explica por qué $E(X^2) \ne [E(X)]^2$: la diferencia entre esas dos cosas es la varianza.

3 · Un ejemplo

Con $X$ = cantidad de caras en tres monedas, donde ya sabemos que $E(X) = 1{,}5$:

$x$	$p(x)$	$x^2 \cdot p(x)$
0	0,125	0,000
1	0,375	0,375
2	0,375	1,500
3	0,125	1,125
		3,000

$$\text{Var}(X) = 3{,}000 - 1{,}5^2 = 0{,}75 \qquad \sigma = 0{,}866$$

4 · Sus propiedades

Sumar una constante no la cambia.

$$\text{Var}(X + b) = \text{Var}(X)$$

Correr todos los valores no altera cuánto se dispersan entre sí.

Multiplicar la eleva al cuadrado.

$$\text{Var}(aX) = a^2 \,\text{Var}(X)$$

Por eso el desvío estándar se multiplica por $|a|$ y no por $a^2$: la raíz deshace el cuadrado.

La varianza de una suma exige independencia.

$$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \qquad\text{solo si son independientes}$$

Si no son independientes, aparece un término más: $2\,\text{Cov}(X,Y)$.

Y una consecuencia que sorprende: al restar también se suman las varianzas.

$$\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$$

Es exactamente lo que está detrás del error estándar de una diferencia de medias: las incertidumbres se acumulan aunque las medias se resten.

5 · De dónde sale el error estándar

Es la aplicación más importante de estas propiedades, y con ellas se deduce en tres pasos.

Para $n$ observaciones independientes con varianza $\sigma^2$ cada una:

$$\text{Var}(\bar{x}) = \text{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum \text{Var}(X_i) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}$$

Sacando raíz:

$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

6 · Errores frecuentes

• Aplicar $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ sin independencia.
• Creer que al restar se restan las varianzas. Se suman.
• Multiplicar la varianza por $a$ en lugar de $a^2$.
• Confundir $E(X^2)$ con $[E(X)]^2$. La diferencia es la varianza.
• Informar la varianza en lugar del desvío. Está en unidades al cuadrado.
• Olvidar que la varianza no puede ser negativa. Si en la fórmula práctica da negativa, hay un error de cálculo.

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