IC para la diferencia de medias

1 · La fórmula

Para dos muestras independientes, sin suponer varianzas iguales:

$$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \;\pm\; t \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$$

Es el punto que más cuesta y tiene sentido: al comparar dos estimaciones, las dos incertidumbres se acumulan. Ninguna cancela a la otra.

2 · Por qué es mejor que la prueba t

La prueba responde “¿hay diferencia?”. El intervalo responde “¿de cuánto es la diferencia?”, que casi siempre es la pregunta real.

Y contiene la respuesta de la prueba: si el intervalo no incluye el cero, la diferencia es significativa al nivel correspondiente.

El intervalo	Conclusión
No incluye el cero	Hay diferencia; y dice de cuánto
Incluye el cero, y es angosto	Si hay diferencia, es chica
Incluye el cero, y es ancho	Los datos no alcanzan para concluir

3 · Un ejemplo

Ingreso de la ocupación principal por sexo, con los casos de la EPH y sin ponderadores para que la cuenta se pueda reproducir:

	Valor
Media varones (n = 8.364)	$1.123.989
Media mujeres (n = 7.084)	$832.239
Diferencia	$291.750
Error estándar de la diferencia	$15.552
$t$	18,76
Grados de libertad	14.760
IC 95 %	$261.268 – $322.232
$d$ de Cohen	0,29

El ingreso medio de la ocupación principal fue mayor entre los varones que entre las mujeres, con una diferencia de $291.750 (IC 95 %: $261.268 – $322.232; t = 18,76; gl = 14.760; p < 0,001; d = 0,29).

Fijate lo que agrega el intervalo: no solo que hay diferencia, sino que los datos son compatibles con una brecha de entre $261.000 y $322.000. Esa es la información que permite discutir si la diferencia es relevante, que es otra pregunta que el p-valor no contesta.

4 · Grupos independientes o apareados

Es la distinción que define qué fórmula corresponde:

Independientes. Dos grupos distintos de personas: varones y mujeres, tratados y controles. Es la fórmula de arriba.

Apareados. Las mismas unidades medidas dos veces, o pares emparejados deliberadamente. Ahí se trabaja con las diferencias individuales y se aplica el intervalo de una sola media:

$$\bar{d} \;\pm\; t_{n-1} \cdot \frac{s_d}{\sqrt{n}}$$

Confundirlos es un error frecuente y tiene consecuencias: el diseño apareado suele dar intervalos bastante más angostos, porque elimina la variabilidad entre sujetos.

5 · Varianzas iguales o no

Existe una versión que supone varianzas iguales y usa una varianza combinada. Es más eficiente cuando el supuesto se cumple y produce resultados incorrectos cuando no.

La versión de arriba —conocida como Welch— no lo supone, y es la que R usa por defecto.

6 · Errores frecuentes

• Restar los errores estándar. Se suman las varianzas.
• Comparar los intervalos individuales en vez del de la diferencia. Dos intervalos que se superponen pueden corresponder a una diferencia significativa.
• Usar la fórmula de independientes con datos apareados. Desperdicia la ventaja del diseño y da intervalos innecesariamente anchos.
• Informar solo el p-valor. La magnitud de la diferencia es el resultado.
• Concluir “no hay diferencia” con un intervalo ancho que incluye el cero. Eso significa que no se sabe.
• Olvidar los ponderadores y el diseño con datos de encuestas.

7 · En el software

# R — Welch por defecto
t.test(ingreso ~ sexo, data = datos)

# Apareados
t.test(antes, despues, paired = TRUE)

# Con diseño complejo
svyttest(ingreso ~ sexo, dis)

# Python
from scipy import stats
stats.ttest_ind(g1, g2, equal_var=False)

import statsmodels.stats.api as sms
sms.CompareMeans(sms.DescrStatsW(g1), sms.DescrStatsW(g2)).tconfint_diff(usevar="unequal")

SPSS:     Analizar › Comparar medias › Prueba T para muestras independientes
          (la tabla trae las dos filas: varianzas iguales y no asumidas,
          y el IC de la diferencia en las últimas columnas)
InfoStat: Estadísticas › Inferencia basada en dos muestras › Prueba T

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