IC para la media con σ desconocida

1 · La fórmula

$$\bar{x} \;\pm\; t_{\alpha/2,\; n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

2 · Por qué la t y no la z

Porque al estimar $\sigma$ con $s$ se agrega una segunda fuente de incertidumbre: no solo no se conoce la media, tampoco se conoce la dispersión.

La distribución t tiene colas más pesadas que la normal, y esas colas más pesadas producen valores críticos mayores. El intervalo queda más ancho, que es exactamente lo que corresponde cuando se sabe menos.

Los grados de libertad son $n - 1$, por la misma razón que en la varianza: se gastó un grado al estimar la media. Ver por qué n−1.

A medida que $n$ crece, la t converge a la normal y la diferencia desaparece.

3 · El procedimiento

Paso 1. Verificá los supuestos.

Paso 2. Calculá $\bar{x}$ y $s$.

Paso 3. Calculá el error estándar: $EE = s/\sqrt{n}$.

Paso 4. Buscá $t$ con $n-1$ grados de libertad y el nivel elegido.

Paso 5. Armá el intervalo: $\bar{x} \pm t \cdot EE$.

Paso 6. Informalo con el nivel de confianza y el $n$.

4 · Los supuestos

Muestreo aleatorio. Sin esto no vale nada de lo demás.

Normalidad de la distribución muestral de la media. Se cumple si la población es aproximadamente normal, o si $n$ es suficientemente grande. Cuánto es “suficiente” depende de la asimetría: ver teorema central del límite.

Independencia. Los casos no tienen que estar correlacionados entre sí. Mediciones repetidas del mismo sujeto o personas del mismo hogar violan este supuesto.

5 · Un ejemplo

Con los 15.448 ocupados de la EPH que declararon ingreso de la ocupación principal, sin ponderadores para que la cuenta se pueda reproducir:

Paso	Valor
$\bar{x}$	$990.201
$s$	$1.003.821
$n$	15.448
$EE = s/\sqrt{n}$	$8.076
$t_{0{,}975;\,15447}$	1,960
Margen de error	$15.831
IC 95 %	$974.370 – $1.006.032

El ingreso medio de la ocupación principal se estimó en $990.201 (IC 95 %: $974.370 – $1.006.032; n = 15.448).

6 · Cuándo no usarlo

Con una distribución muy asimétrica, un intervalo para la media puede ser técnicamente correcto y sustantivamente engañoso: informa la precisión de un número que no describe bien al conjunto.

Con el ingreso —asimetría 5,46— el intervalo de arriba es válido, y aun así la mediana describe mejor a la población. Lo razonable es informar las dos cosas, cada una con su medida de incertidumbre.

7 · Errores frecuentes

• Usar $z$ con muestras chicas. Produce intervalos demasiado angostos.
• Usar $n$ en vez de $n-1$ grados de libertad.
• Olvidar la raíz de $n$. Es el error de cálculo más común: se arma el intervalo con $s$ en lugar de $s/\sqrt{n}$ y queda absurdamente ancho.
• No verificar la forma de la distribución con muestras chicas.
• Aplicarlo a datos de encuestas complejas sin declarar el diseño: el intervalo queda demasiado angosto.
• Interpretarlo como probabilidad sobre $\mu$. Ver interpretación correcta.
• Informar el intervalo sin el $n$.

8 · En el software

# R — la función estándar
t.test(datos$ingreso)
t.test(datos$ingreso, conf.level = 0.99)$conf.int

# Con diseño complejo
library(survey)
confint(svymean(~ingreso, dis))

# Python
from scipy import stats
stats.t.interval(0.95, len(x) - 1, loc=x.mean(), scale=stats.sem(x))

Excel:    =PROMEDIO(rango) ± INTERVALO.CONFIANZA.T(0,05; DESVEST.M(rango); n)
SPSS:     Analizar › Comparar medias › Prueba T para una muestra
          (el IC de la diferencia aparece en la salida)
InfoStat: Estadísticas › Inferencia basada en una muestra › Media

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