IC para la media con σ conocida

1 · La fórmula

$$\bar{x} \;\pm\; z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

2 · Cuándo se puede usar

Cuando se conoce el desvío estándar de la población y se cumple alguna de estas dos condiciones:

• La población es normal, o
• $n$ es suficientemente grande como para que el TCL garantice la normalidad de la media.

3 · El problema

Esa es la objeción obvia y es correcta. En la práctica hay pocas situaciones donde $\sigma$ se conozca de verdad:

• Instrumentos de medición calibrados, cuya precisión está documentada por el fabricante.
• Procesos industriales con historial largo y estable.
• Pruebas estandarizadas diseñadas para tener un desvío fijo por construcción.

Fuera de esos casos, se usa $s$ en lugar de $\sigma$, y eso cambia la distribución de referencia: hay que pasar a la distribución t. Ver IC para la media con σ desconocida.

4 · Entonces, ¿para qué estudiarlo?

Por dos razones prácticas.

Porque es la base conceptual. Toda la lógica del intervalo —estimación ± crítico × error estándar— se entiende mejor acá, sin la complicación adicional de la t.

Porque con $n$ grande es lo que se usa igual. Cuando la muestra es grande, la distribución t es prácticamente idéntica a la normal, y usar $z = 1{,}96$ con $s$ en lugar de $\sigma$ da esencialmente el mismo resultado.

$n$	$t_{0{,}975}$	$z_{0{,}975}$	Diferencia
10	2,262	1,960	15,4 %
30	2,045	1,960	4,3 %
100	1,984	1,960	1,2 %
1.000	1,962	1,960	0,1 %
15.448	1,960	1,960	≈ 0

Con más de unos 100 casos la distinción deja de tener consecuencias prácticas.

5 · El procedimiento

Paso 1. Verificá las condiciones: $\sigma$ conocida, y población normal o $n$ grande.

Paso 2. Calculá $\bar{x}$.

Paso 3. Buscá $z_{\alpha/2}$ según el nivel de confianza: 1,96 para el 95 %.

Paso 4. Calculá el error estándar $\sigma/\sqrt{n}$.

Paso 5. Armá el intervalo.

6 · Un ejemplo

Con los 15.448 ocupados de la EPH, tomando $\sigma = 1.003.821$ como conocido:

$$EE = \frac{1.003.821}{\sqrt{15.448}} = 8.076$$ $$IC_{95\%} = 990.201 \pm 1{,}96 \times 8.076 = (974.372,\; 1.006.030)$$

Prácticamente idéntico al que da la distribución t, porque con 15.447 grados de libertad $t = 1{,}960$.

7 · Errores frecuentes

• Usarlo con $\sigma$ desconocida y muestra chica. Ahí va la t, y la diferencia importa.
• Confundir $\sigma$ con $s$. Si el número salió de la muestra, es $s$.
• Olvidar dividir por $\sqrt{n}$. El intervalo queda absurdamente ancho.
• Usar $z$ para el nivel equivocado. 1,96 es 95 %; para 99 % va 2,576.
• Aplicarlo con población muy asimétrica y $n$ chico. El TCL necesita más casos de los que sugiere la regla de 30.
• Usarlo con muestreo complejo sin corregir por el efecto de diseño.

8 · En el software

# R — no hay función directa, porque el caso práctico es el de la t
z <- qnorm(0.975)
mean(x) + c(-1, 1) * z * sigma / sqrt(length(x))

# Python
from scipy import stats
stats.norm.interval(0.95, loc=x.mean(), scale=sigma/np.sqrt(len(x)))

Excel:    =INTERVALO.CONFIANZA.NORM(0,05; sigma; n)   devuelve el margen

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