IC para la diferencia de proporciones

1 · La fórmula

$$(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \;\pm\; z \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$$

El resultado está en puntos porcentuales, no en porcentaje: pasar de 20 % a 25 % es una diferencia de 5 puntos porcentuales, no del 5 %.

2 · El error que esta entrada existe para evitar

Es un razonamiento que se hace todo el tiempo y es incorrecto. Dos proporciones pueden tener intervalos que se solapan y una diferencia perfectamente significativa.

La razón es que el error estándar de la diferencia es menor que la suma de los dos errores individuales: $\sqrt{a^2 + b^2} < a + b$. Comparar por superposición es un criterio innecesariamente conservador.

La regla: para decidir sobre una diferencia, hay que calcular el intervalo de la diferencia. No alcanza con mirar los dos intervalos.

3 · Las tres formas de comparar dos proporciones

Medida	Fórmula	Cuándo se usa
Diferencia	$p_1 - p_2$	Es la más interpretable: cuántos puntos
Riesgo relativo	$p_1 / p_2$	En salud, con estudios de cohorte
Odds ratio	$\dfrac{p_1/(1-p_1)}{p_2/(1-p_2)}$	Casos y controles, regresión logística

Las tres describen la misma comparación y comunican cosas distintas. Un riesgo relativo de 2 puede corresponder a pasar del 1 % al 2 % —una diferencia de 1 punto— o del 30 % al 60 % —de 30 puntos—. La diferencia absoluta es la que dice cuánta gente está involucrada.

Ver riesgo relativo y odds ratio.

4 · Cómo se informa

La proporción de X fue del 33,2 % entre los varones y del 28,4 % entre las mujeres, con una diferencia de 4,8 puntos porcentuales (IC 95 %: 3,5 – 6,1; p < 0,001).

Tres elementos: las dos proporciones, la diferencia con su intervalo, y el tamaño de cada grupo.

5 · Condiciones y alternativas

Valen las mismas de la proporción simple: al menos 10 casos en cada categoría de cada grupo.

Cuando no se cumplen —muestras chicas, proporciones extremas— corresponde:

• El método de Newcombe, que combina dos intervalos de Wilson y se porta mucho mejor en los extremos.
• La prueba exacta de Fisher para la prueba de hipótesis.

Igual que con una sola proporción, la fórmula clásica se porta mal justo donde más se la necesita.

6 · Errores frecuentes

• Decidir por superposición de intervalos. El error central del tema.
• Confundir puntos porcentuales con porcentaje. Pasar de 20 % a 25 % es +5 pp y +25 % en términos relativos. Las dos cifras son correctas y dicen cosas distintas.
• Informar solo el riesgo relativo. Sin la diferencia absoluta, un efecto chico parece grande.
• Restar los errores estándar. Se suman las varianzas.
• Usar la fórmula clásica con proporciones extremas.
• Comparar proporciones de grupos que no son independientes. Si son las mismas personas medidas dos veces, va la prueba de McNemar, no esta fórmula.

7 · En el software

# R
prop.test(c(x1, x2), c(n1, n2))       # devuelve el IC de la diferencia

# Mejor comportamiento en los extremos
library(DescTools)
BinomDiffCI(x1, n1, x2, n2, method = "scorecc")

# Python
from statsmodels.stats.proportion import confint_proportions_2indep
confint_proportions_2indep(x1, n1, x2, n2, method="wald")

SPSS:     Tablas cruzadas › Estadísticos › Riesgo
          (da riesgo relativo y odds ratio con sus IC)

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