Independencia de eventos

1 · Definición

Dos eventos son independientes si saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad del otro:

$$P(A \mid B) = P(A)$$

Equivalentemente, y es la forma que más se usa por ser simétrica:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

2 · Cómo se verifica

Se compara la conjunta observada con el producto de las marginales. Con la tabla de la EPH:

$$P(\text{sec. incompleto}) \times P(\text{no registrado}) = 0{,}2535 \times 0{,}3764 = 0{,}0954$$

y la celda observada vale 0,1494. No coinciden: los eventos no son independientes. Hay un 57 % más de personas en esa situación de las que habría si las dos características no tuvieran relación.

3 · Independientes no es excluyentes

Vale repetirlo porque es la confusión más persistente del módulo:

	Excluyentes	Independientes
$P(A \cap B)$	$= 0$	$= P(A)P(B)$
Si ocurre $A$	$B$ es imposible	$B$ no cambia
Regla	se suman	se multiplican

Dos eventos excluyentes con probabilidad positiva son el caso más dependiente posible: uno determina por completo al otro.

4 · Independencia de a pares no alcanza

Para más de dos eventos, la definición exige que el producto se cumpla para todos los subconjuntos, no solo para los pares:

$$P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$$

y además las tres igualdades de a pares. Existen ejemplos donde los tres pares son independientes y la triple no: la independencia mutua es más exigente que la independencia de a pares.

5 · El supuesto más frágil de la estadística

Casi todas las fórmulas del curso —el error estándar $\sigma/\sqrt{n}$, la binomial, la prueba t, la regresión— suponen observaciones independientes. Y es el supuesto que más se viola en la práctica:

• Personas del mismo hogar. Comparten ingreso, barrio y hábitos: sus datos no son independientes.
• Mediciones repetidas del mismo sujeto.
• Alumnos del mismo curso, pacientes del mismo hospital. El efecto del docente o del servicio los vuelve parecidos entre sí.
• Series de tiempo. El valor de un mes está correlacionado con el anterior.
• Muestreo por conglomerados. Que es justamente el diseño de la EPH.

La solución no es ignorarlo: hay modelos —multinivel, ecuaciones de estimación generalizadas, errores estándar robustos por conglomerado— construidos precisamente para eso.

6 · Errores frecuentes

• Confundir independiente con excluyente.
• Multiplicar probabilidades de eventos dependientes. Corresponde la regla del producto general, con la condicional.
• Suponer independencia por defecto. Es un supuesto fuerte: hay que justificarlo con el diseño del estudio.
• Creer que “no correlacionados” implica independientes. La correlación solo mide relación lineal.
• Verificar la independencia en una sola celda de la tabla. Tiene que cumplirse en todas.
• Tratar como independientes a personas del mismo hogar o del mismo curso.

7 · En el software

# R — comparar observado con esperado bajo independencia
tab <- table(educacion, registrado)
esperado <- outer(rowSums(tab), colSums(tab)) / sum(tab)
tab - esperado           # las diferencias

chisq.test(tab)          # la prueba formal
chisq.test(tab)$expected  # las frecuencias esperadas

# Python
from scipy import stats
chi2, p, gl, esperado = stats.chi2_contingency(tab)

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