Distribución geométrica

1 · Definición

La distribución geométrica da la probabilidad de necesitar exactamente $k$ intentos hasta obtener el primer éxito, en ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad $p$:

$$P(X = k) = (1-p)^{\,k-1}\, p \qquad k = 1, 2, 3, \dots$$

2 · Cómo se lee la fórmula

Para que el primer éxito caiga recién en el intento $k$ tienen que pasar dos cosas: los primeros $k-1$ intentos fallan —de ahí $(1-p)^{k-1}$— y el $k$-ésimo acierta —de ahí $p$—. Por independencia, se multiplican.

No hay combinatorio porque hay una sola secuencia posible: fracaso, fracaso, …, éxito.

3 · Media y varianza

$$E(X) = \frac{1}{p} \qquad \text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^{2}}$$

La esperanza es la más intuitiva de toda la materia: si algo pasa una vez cada cinco, hay que esperar en promedio cinco intentos.

4 · Un ejemplo

Si el 20 % de los hogares contactados acepta responder una encuesta y se llama hasta conseguir la primera entrevista:

$k$	$P(X = k)$
1	0,2000
2	0,1600
3	0,1280
4	0,1024
5	0,0819
6	0,0655

En promedio hacen falta $1/0{,}2 = 5$ llamados, con desvío $\sqrt{0{,}8/0{,}04} = 4{,}47$ —una variabilidad enorme, casi igual a la media—.

La probabilidad de resolverlo en los primeros tres llamados es 0,4880, y la de necesitar más de cinco es $0{,}8^{5} = 0{,}3277$.

5 · Falta de memoria

Es su propiedad más característica:

$$P(X > m + k \mid X > m) = P(X > k)$$

Si ya se hicieron 10 llamados sin éxito, la probabilidad de necesitar 5 más es la misma que al empezar. La distribución no se acuerda de lo que ya pasó.

La geométrica es la única distribución discreta con esta propiedad. Su equivalente continua es la exponencial.

6 · Dos versiones que conviene distinguir

Versión	Soporte	$E(X)$
Cantidad de intentos hasta el éxito	1, 2, 3, …	$1/p$
Cantidad de fracasos antes del éxito	0, 1, 2, …	$(1-p)/p$

Las dos se llaman “geométrica” y difieren en 1. R y Python usan la segunda —cuentan fracasos—, mientras que la mayoría de los libros de texto usa la primera. Es la fuente de error más común del tema.

7 · Errores frecuentes

• Confundirla con la binomial. Si la pregunta dice “en 10 intentos”, es binomial; si dice “hasta conseguir”, es geométrica.
• No fijarse qué versión usa el software. En R, dgeom(4, 0.2) es la probabilidad de 4 fracasos antes del éxito, o sea 5 intentos.
• Aplicarla con $p$ variable. Si la probabilidad de aceptar cambia según el momento del día, no vale.
• Creer en la falacia del jugador. Los fracasos previos no aumentan la probabilidad del próximo éxito.
• Reportar solo la media. Con $p$ chico la variabilidad es enorme y la media sola engaña.

8 · En el software

# R cuenta FRACASOS, no intentos: restar 1
dgeom(4, prob = 0.2)      # P(5 intentos)  = 0.0819
pgeom(2, 0.2)             # P(≤ 3 intentos) = 0.488
1 - pgeom(4, 0.2)         # P(> 5 intentos) = 0.3277

# Python: scipy.stats.geom SÍ cuenta intentos (soporte 1, 2, 3, …)
from scipy import stats
stats.geom.pmf(5, 0.2)    # 0.0819
stats.geom.cdf(3, 0.2)    # 0.488

Excel:    =DISTR.BINOM.NEG.N(k-1; 1; p; FALSO)
          (la geométrica es el caso r = 1 de la binomial negativa)

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