Elección de distribución

1 · Las tres preguntas que deciden

Casi todos los ejercicios se resuelven contestando esto, en este orden:

1. ¿Qué se está midiendo: un conteo o una magnitud? Conteo → discreta. Magnitud continua → continua.

2. ¿Qué es lo que está fijo y qué es lo aleatorio? Si la cantidad de intentos está fija y lo aleatorio son los éxitos, es binomial. Si lo fijo es el éxito y lo aleatorio es cuánto hay que esperar, es geométrica o exponencial.

3. ¿Hay reposición o la población es grande? Si no hay reposición y la muestra es una parte importante de la población, la independencia se rompe.

2 · El árbol

Si la variable es un conteo (discreta):

Situación	Distribución
Un solo ensayo, éxito o fracaso	Bernoulli
Éxitos en $n$ ensayos independientes	Binomial
Éxitos en $n$ extracciones sin reposición de población chica	Hipergeométrica
Intentos hasta el primer éxito	Geométrica
Eventos por unidad de tiempo o espacio, sin máximo	Poisson
Todos los valores igualmente probables	Uniforme discreta

Si la variable es una magnitud (continua):

Situación	Distribución
Simétrica, acumulación de muchas causas pequeñas	Normal
Tiempo entre eventos, riesgo constante	Exponencial
Densidad constante en un intervalo	Uniforme continua

Si es un estadístico calculado sobre una muestra:

Estadístico	Distribución
Media, $\sigma$ conocida	Normal
Media, $\sigma$ estimada	t de Student
Varianza, suma de cuadrados, tabla de frecuencias	Chi-cuadrado
Cociente de varianzas, ANOVA	F

3 · Los cuatro pares que más se confunden

Binomial o Poisson. La pregunta es si existe un máximo. “De 50 pacientes, ¿cuántos mejoran?” tiene máximo 50: binomial. “¿Cuántos pacientes llegan por hora?” no tiene máximo: Poisson. Cuando $n$ es grande y $p$ muy chico las dos coinciden.

Binomial o hipergeométrica. ¿Hay reposición? Si no la hay pero la muestra es menos del 5 % de la población, la binomial alcanza.

Binomial o geométrica. ¿Qué está fijo? “En 10 llamados” fija $n$: binomial. “Hasta conseguir uno” deja $n$ libre: geométrica.

Poisson o exponencial. Son las dos caras del mismo proceso. La Poisson cuenta cuántos eventos —discreta—; la exponencial mide cuánto tiempo pasa entre eventos —continua—. Si el enunciado pregunta “cuántos”, es Poisson; si pregunta “cuánto tiempo”, es exponencial.

4 · Cómo verificar la elección

Tres controles rápidos, después de elegir:

Contrastar media y varianza observadas con las teóricas. Si la distribución elegida es Poisson y en los datos la varianza duplica a la media, hay sobredispersión y la elección está mal.

Mirar el histograma. Una asimetría fuerte descarta la normal; una forma decreciente desde cero sugiere exponencial.

Mirar el soporte. Si la variable no puede ser negativa y la distribución elegida sí lo admite, el modelo va a asignar probabilidad a valores imposibles. Con media alejada de cero eso es inocuo; cerca de cero, no.

5 · Cuándo ninguna sirve

Pasa seguido, y conviene saber qué hacer:

• Conteos con sobredispersión → binomial negativa, o Poisson con corrección de los errores estándar.
• Muchos ceros → modelos inflados en cero.
• Tiempos con desgaste o aprendizaje → Weibull, no exponencial.
• Ingresos y variables muy asimétricas positivas → log-normal, o trabajar con el logaritmo.
• Nada encaja → métodos no paramétricos o bootstrap, que no exigen una forma distribucional.

6 · Errores frecuentes

• Elegir la distribución por el tema en vez de por la estructura del problema.
• No escribir qué es $X$ antes de calcular.
• Suponer normalidad por costumbre.
• Forzar un modelo conocido cuando los datos no lo acompañan.
• Confundir la distribución de los datos con la del estadístico. Son cosas distintas y la confusión recorre todo el curso.
• No verificar los supuestos después de elegir.

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