Distribución chi-cuadrado

1 · Definición

La distribución chi-cuadrado con $\nu$ grados de libertad es la distribución de la suma de $\nu$ normales estándar independientes elevadas al cuadrado:

$$\chi^{2}_{\nu} = Z_1^{2} + Z_2^{2} + \dots + Z_{\nu}^{2}$$

2 · Sus propiedades

Solo toma valores positivos. Son cuadrados sumados: no puede dar negativo.

Es asimétrica a la derecha, mucho cuando $\nu$ es chico, cada vez menos a medida que crece.

Media y varianza:

$$E(\chi^{2}_{\nu}) = \nu \qquad \text{Var}(\chi^{2}_{\nu}) = 2\nu$$

La media es directamente el número de grados de libertad: es la referencia más útil para saber si un valor observado es grande o chico.

Es aditiva: la suma de dos chi-cuadrado independientes es chi-cuadrado, con los grados de libertad sumados.

Tiende a normal cuando $\nu$ crece, aunque lentamente.

3 · Los valores críticos

$\nu$	$\chi^{2}_{0{,}025}$	$\chi^{2}_{0{,}95}$	$\chi^{2}_{0{,}975}$
1	0,001	3,841	5,024
2	0,051	5,991	7,378
5	0,831	11,070	12,833
10	3,247	18,307	20,483
20	9,591	31,410	34,170
30	16,791	43,773	46,979

El más conocido es 3,841 con 1 grado de libertad, que aparece en toda tabla 2×2 y no es casualidad: $3{,}841 = 1{,}96^{2}$.

4 · Sus dos usos, que parecen distintos

Sobre varianzas. Si la población es normal,

$$\frac{(n-1)\,s^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}_{n-1}$$

De ahí sale el IC para la varianza y la prueba sobre una varianza. Es el uso donde la normalidad es crítica: a diferencia de la media, acá una muestra grande no salva el incumplimiento del supuesto.

Sobre frecuencias. En una tabla de contingencia,

$$\chi^{2} = \sum \frac{(O - E)^{2}}{E}$$

que se distribuye aproximadamente chi-cuadrado si las frecuencias esperadas no son muy chicas. Es la base de la prueba de independencia y de la de bondad de ajuste.

5 · Los grados de libertad, caso por caso

Uso	$\nu$
Varianza de una muestra	$n - 1$
Bondad de ajuste	$k - 1 - m$ (categorías menos parámetros estimados)
Tabla de contingencia $f \times c$	$(f-1)(c-1)$

En la tabla de contingencia se ve bien la idea: fijados los totales de filas y columnas, una vez completadas $(f-1)(c-1)$ celdas todas las demás quedan determinadas.

6 · Errores frecuentes

• Esperar valores negativos. Si un cálculo de $\chi^{2}$ da negativo, hay un error de cuenta.
• Hacerla bilateral en una prueba de independencia. Es unilateral por derecha.
• Errar los grados de libertad en la tabla. Son $(f-1)(c-1)$, no $f \times c$ ni $n-1$.
• Usarla con frecuencias esperadas muy chicas. La regla habitual pide que todas superen 5 —o al menos el 80 % de las celdas—. Si no, va la prueba exacta de Fisher.
• Usar frecuencias relativas en vez de absolutas. El estadístico depende del tamaño de la muestra: calcularlo sobre porcentajes lo distorsiona por completo.
• Confundir significación con magnitud. Un $\chi^{2}$ grande con $n$ grande puede corresponder a una asociación trivial: hay que mirar la V de Cramér.
• Usarla sobre varianzas con datos no normales. Acá el supuesto no se puede relajar.

7 · En el software

# R
qchisq(0.95, df = 1)       # 3.841  valor crítico
pchisq(3.841, df = 1)      # 0.95
1 - pchisq(x, df)          # valor p

chisq.test(tabla)          # la prueba completa

# Python
from scipy import stats
stats.chi2.ppf(0.95, df=1)          # 3.841
stats.chi2_contingency(tabla)

Excel:    =INV.CHICUAD.CD(0,05; 1)     valor crítico
          =DISTR.CHICUAD.CD(3,841; 1)  valor p
SPSS:     Analizar › Estadísticos descriptivos › Tablas cruzadas › Chi-cuadrado

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