Distribución F

1 · Definición

La distribución F es la del cociente de dos chi-cuadrado independientes, cada una dividida por sus grados de libertad:

$$F = \frac{\chi^{2}_{\nu_1}/\nu_1}{\chi^{2}_{\nu_2}/\nu_2}$$

Equivalentemente, es la distribución del cociente de dos varianzas muestrales de poblaciones normales con la misma varianza:

$$F = \frac{s_1^{2}}{s_2^{2}}$$

2 · Sus propiedades

Solo positiva y asimétrica a la derecha, como la chi-cuadrado de la que proviene.

Centrada cerca de 1. Si las dos varianzas estiman lo mismo, el cociente ronda

1. Su media exacta es

$$E(F) = \frac{\nu_2}{\nu_2 - 2} \quad \text{para } \nu_2 > 2$$

que se acerca a 1 cuando $\nu_2$ crece.

Recíproca: $1/F_{\nu_1,\nu_2}$ se distribuye $F_{\nu_2,\nu_1}$. Es la propiedad que permitía a las tablas impresas traer solo la cola derecha.

Relación con la t: $t^{2}_{\nu} = F_{1,\nu}$. Se comprueba enseguida: $t^2_{10}$ al 97,5 % es $2{,}228^2 = 4{,}965$, que es exactamente $F_{1,10}$ al 95 %. Por eso una prueba t de dos grupos y un ANOVA de dos grupos dan siempre el mismo valor p.

3 · Los valores críticos

$\nu_1$ (num.)	$\nu_2$ (den.)	$F_{0{,}95}$
1	10	4,965
2	20	3,493
3	30	2,922
5	20	2,711
10	10	2,978

Las tablas de F son las más incómodas de todas: hacen falta dos entradas y una tabla completa por cada nivel de significación. Es el caso donde el software más se agradece.

4 · Dónde se usa

ANOVA. Es su uso principal. El estadístico

$$F = \frac{\text{varianza entre grupos}}{\text{varianza dentro de los grupos}}$$

compara cuánto se separan las medias de los grupos frente a cuánto varían los datos adentro de cada uno. Si los grupos no difieren, las dos varianzas estiman lo mismo y $F$ ronda 1; si difieren, el numerador crece.

Comparación de dos varianzas. La prueba de homogeneidad de varianzas más simple es un cociente $s_1^2/s_2^2$, aunque en la práctica se prefiere Levene por ser menos sensible a la falta de normalidad.

Regresión múltiple. El F global contrasta si el modelo completo explica algo, y el F parcial compara dos modelos anidados.

5 · Errores frecuentes

• Invertir los grados de libertad. El del numerador va primero y no es intercambiable.
• Hacerla bilateral en un ANOVA. Es unilateral por derecha.
• Concluir cuáles grupos difieren. El F solo dice que al menos dos difieren; identificarlos requiere comparaciones múltiples.
• Usar el F de varianzas con datos no normales. Es muy sensible; conviene Levene.
• Confundir la varianza entre con la varianza dentro.
• Reportar solo el F. Sin el tamaño del efecto —$\eta^2$ o $\omega^2$— el resultado dice poco.

6 · En el software

# R
qf(0.95, df1 = 3, df2 = 30)     # 2.922
pf(4.5, 3, 30, lower.tail = FALSE)   # valor p

var.test(x, y)                  # cociente de varianzas
summary(aov(y ~ grupo))         # ANOVA

# Python
from scipy import stats
stats.f.ppf(0.95, dfn=3, dfd=30)     # 2.922
stats.f_oneway(g1, g2, g3)

Excel:    =INV.F.CD(0,05; 3; 30)      valor crítico
          =DISTR.F.CD(4,5; 3; 30)     valor p
          Datos › Análisis de datos › Análisis de varianza
SPSS:     Analizar › Comparar medias › ANOVA de un factor

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