Pruebas de normalidad: Shapiro-Wilk y otras

1 · Qué contrastan

$$H_0: \text{los datos provienen de una distribución normal}$$

2 · Las pruebas disponibles

Prueba	Característica
Shapiro-Wilk	la más potente en general; la recomendada
Anderson-Darling	sensible a las colas; buena alternativa
Kolmogorov-Smirnov con Lilliefors	poco potente; muy difundida por inercia
Jarque-Bera	basada en asimetría y curtosis; usada en econometría
Chi-cuadrado de bondad de ajuste	depende de cómo se agrupe; en desuso para esto

En R, shapiro.test admite hasta 5.000 casos: con más hay que tomar una submuestra, lo que ya insinúa que la prueba no tiene mucho sentido con $n$ grande.

3 · El problema central

La edad de los ocupados de la EPH tiene asimetría 0,26 y curtosis −0,62: es una variable razonablemente simétrica. Shapiro-Wilk sobre 5.000 casos da $W = 0{,}981$ —casi 1— y $p = 3 \times 10^{-25}$.

Cuántas veces rechaza, según el tamaño de la submuestra:

$n$	Rechaza
10	7,0 %
20	6,5 %
30	14,5 %
50	24,5 %
100	60,5 %
500	100 %
5.000	100 %

La paradoja completa: con $n$ grande la prueba rechaza siempre, y con $n$ grande la normalidad no hace falta, porque el TCL se encarga. Con $n$ chico, que es cuando importaría, la prueba casi no tiene potencia para detectar nada.

4 · Qué usar en su lugar

El gráfico Q-Q, que es el método principal. Compara los cuantiles observados con los teóricos: si los puntos siguen la diagonal, hay normalidad razonable.

Y además muestra en qué se apartan, cosa que ningún valor p informa:

Patrón en el Q-Q	Significa
Puntos sobre la diagonal	normalidad razonable
Curva en forma de S	colas más pesadas o livianas
Extremo superior hacia arriba	asimetría a la derecha
Pocos puntos muy alejados	atípicos, no falta de normalidad

Las medidas de forma. Asimetría y curtosis entre −1 y 1 suelen indicar un apartamiento tolerable. El ingreso de la EPH, con asimetría 10,21 y curtosis 267, está fuera de cualquier margen razonable, y eso se sabe sin ninguna prueba.

El sentido común sobre la variable. Un conteo, un tiempo o un ingreso no van a ser normales, y no hace falta verificarlo para saberlo.

5 · Sobre qué se verifica

Casi nunca sobre la variable en bruto:

Procedimiento	Qué tiene que ser normal
Prueba t, IC para la media	la distribución muestral de la media
ANOVA	los residuos
Regresión	los residuos
IC para la varianza	la variable, y acá sí es crítico

6 · Cuándo sí sirve

• Con $n$ chico o moderado —entre 20 y 200—, como complemento del gráfico.
• Cuando la normalidad es crítica: inferencia sobre varianzas, límites de control.
• Para documentar en un informe que se hizo la verificación, siempre junto al Q-Q y a las medidas de forma.

7 · Errores frecuentes

• Usarla como criterio automático para elegir prueba.
• Concluir que hay normalidad porque no se rechazó con $n$ chico.
• Verificar la variable en lugar de los residuos.
• No mirar el gráfico Q-Q.
• Rechazar un análisis por un $p$ de $10^{-25}$ con $W = 0{,}98$, que indica un apartamiento mínimo.
• Usar Kolmogorov-Smirnov sin corrección de Lilliefors cuando los parámetros se estiman de los datos: da valores p demasiado grandes.

8 · En el software

# R — el gráfico primero
qqnorm(x); qqline(x, col = "red")
hist(x, breaks = 30)

shapiro.test(x)              # hasta 5000 casos
nortest::ad.test(x)          # Anderson-Darling
nortest::lillie.test(x)      # KS con corrección de Lilliefors

# Sobre los residuos de un modelo, que es lo que corresponde
shapiro.test(residuals(modelo))
plot(modelo, which = 2)

# Python
from scipy import stats
stats.shapiro(x)
stats.anderson(x, dist='norm')
stats.jarque_bera(x)

import statsmodels.api as sm
sm.qqplot(x, line='s')

SPSS:     Analizar › Descriptivos › Explorar › Gráficos ›
          Gráficos con pruebas de normalidad
          (informa Kolmogorov-Smirnov con Lilliefors y Shapiro-Wilk)

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