Región crítica y valor crítico

1 · Definición

La región crítica —o zona de rechazo— es el conjunto de valores del estadístico de prueba que llevan a rechazar $H_0$.

El valor crítico es su frontera: el valor que separa la zona de rechazo de la de no rechazo.

2 · El estadístico de prueba

Todas las pruebas del curso tienen la misma estructura:

$$\text{estadístico} = \frac{\text{estimador} - \text{valor bajo } H_0}{\text{error estándar del estimador}}$$

Mide cuántos errores estándar separan lo observado de lo que la nula afirmaba. Un valor de 2 significa “dos errores estándar más allá”: lejos, si la distribución es aproximadamente normal.

Con esa estandarización, todas las pruebas se comparan contra la misma tabla.

3 · Dónde se ubica la región

Depende de la alternativa:

$H_1$	Región crítica	Valor crítico ($\alpha = 0{,}05$, normal)
$\mu \ne \mu_0$	las dos colas, $\alpha/2$ en cada una	$\pm 1{,}960$
$\mu > \mu_0$	cola derecha	$+1{,}645$
$\mu < \mu_0$	cola izquierda	$-1{,}645$

Ver pruebas unilaterales y bilaterales para cómo se decide.

4 · Un ejemplo completo

¿El ingreso medio difiere de $1.000.000? Con $n = 15.448$, media $990.201 y $s = 1.003.821$:

1. $H_0: \mu = 1.000.000$ contra $H_1: \mu \ne 1.000.000$.

2. $\alpha = 0{,}05$, bilateral. Valores críticos: $\pm 1{,}960$ —con 15.447 grados de libertad la t es indistinguible de la normal—.

3. Error estándar: $1.003.821/\sqrt{15.448} = 8.076$.

4. Estadístico:

$$t = \frac{990.201 - 1.000.000}{8.076} = -1{,}21$$

5. Como $-1{,}21$ no cae en la región crítica —está entre $-1{,}96$ y $+1{,}96$—, no se rechaza $H_0$.

La diferencia de $9.799 equivale a 1,21 errores estándar: perfectamente compatible con el azar del muestreo.

5 · Los tres caminos dan lo mismo

Hay tres maneras equivalentes de decidir, y conviene ver que son la misma:

Camino	Se rechaza si	En el ejemplo
Valor crítico	$\|t\| > 1{,}96$	1,21 < 1,96 → no
Valor p	$p < \alpha$	0,225 > 0,05 → no
Intervalo de confianza	$\mu_0$ fuera del IC	$1.000.000 está dentro de $974.370–$1.006.032 → no

6 · Ventajas y límites de cada uno

El valor crítico exige elegir $\alpha$ de antemano, cosa que es una virtud —obliga a comprometerse— pero solo informa “sí o no”.

El valor p informa cuán lejos quedó el resultado, y deja que cada lector aplique su propio umbral.

El intervalo es el que más informa: da la magnitud y la precisión, no solo la decisión. Cuando hay que elegir uno para publicar, es este.

7 · Errores frecuentes

• Usar el crítico unilateral en una prueba bilateral.
• Olvidar el valor absoluto en la comparación bilateral. Un $t = -2{,}5$ cae en la región crítica.
• Buscar el crítico en la columna equivocada de la tabla: para bilateral al 5 % se busca el cuantil 0,975.
• Equivocar los grados de libertad.
• Comparar el estadístico con $\alpha$ o el valor p con el valor crítico. Son escalas distintas.
• Definir la región después de ver el estadístico.

8 · En el software

# R — valores críticos
qnorm(0.975)            # 1.960  bilateral, alfa = 0.05
qnorm(0.95)             # 1.645  unilateral
qt(0.975, df = 15447)   # 1.960  prácticamente igual

# El estadístico, a mano
(990201 - 1000000) / (1003821 / sqrt(15448))     # -1.213

# Python
from scipy import stats
stats.norm.ppf(0.975)          # 1.960
stats.t.ppf(0.975, 15447)      # 1.960

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