Prueba para una proporción

1 · La prueba

Para contrastar si una proporción poblacional difiere de un valor de referencia:

$$H_0: p = p_0 \qquad z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

Esa asimetría hace que, en casos de frontera, la prueba y el intervalo puedan dar conclusiones apenas distintas.

2 · Su condición de validez

La aproximación normal exige que, bajo $H_0$:

$$n\,p_0 \ge 5 \qquad\text{y}\qquad n\,(1-p_0) \ge 5$$

Si no se cumplen —proporción muy cerca de 0 o de 1, o $n$ chico—, corresponde la prueba binomial exacta, que no aproxima nada: calcula la probabilidad directo con la binomial.

3 · Un ejemplo

Entre los asalariados de la EPH, 8.679 de 13.864 tienen empleo registrado. ¿La proporción difiere del 60 %?

$$\hat{p} = \frac{8.679}{13.864} = 0{,}6260$$ $$z = \frac{0{,}6260 - 0{,}60}{\sqrt{\dfrac{0{,}60 \times 0{,}40}{13.864}}} = \frac{0{,}0260}{0{,}00416} = 6{,}25$$ $$p < 0{,}001$$

Se rechaza $H_0$. El IC del 95 % es 61,80 % a 63,41 %, que no contiene al 60 %.

4 · Las tres versiones

Versión	Cuándo	Característica
z sin corrección	$n$ grande	la del ejemplo
z con corrección por continuidad	$n$ moderado	resta $1/(2n)$ al numerador; más conservadora
Binomial exacta	$n$ chico o $p_0$ extrema	siempre válida, algo conservadora

prop.test de R aplica la corrección por continuidad por defecto; binom.test hace la exacta. Con $n$ grande las tres coinciden.

5 · Su relación con el chi-cuadrado

La prueba z para una proporción y el chi-cuadrado de bondad de ajuste con dos categorías son la misma prueba:

$$z^{2} = \chi^{2}$$

En el ejemplo, $6{,}25^{2} = 39{,}1$, que es el chi-cuadrado con 1 grado de libertad y el mismo valor p. La única ventaja de la z es que admite versión unilateral.

6 · Errores frecuentes

• Usar $\hat{p}$ en el error estándar en lugar de $p_0$.
• Aplicarla con $np_0 < 5$. Ahí va la exacta.
• Confundir la proporción con el conteo. El estadístico se calcula sobre la proporción; el conteo va en la binomial.
• Usarla con datos que no son conteos de éxitos independientes.
• Reportar el porcentaje sin el $n$. “El 62,6 %” sobre 13.864 casos y sobre 20 no son comparables.
• Confundir puntos porcentuales con porcentaje. Pasar de 60 % a 62,6 % es 2,6 puntos, o un aumento relativo del 4,3 %.

7 · En el software

# R
prop.test(8679, 13864, p = 0.60)               # con corrección
prop.test(8679, 13864, p = 0.60, correct = FALSE)
binom.test(8679, 13864, p = 0.60)              # exacta

# Unilateral
prop.test(8679, 13864, p = 0.60, alternative = "greater")

# Python
from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest, binom_test
proportions_ztest(8679, 13864, value=0.60, prop_var=0.60)
binom_test(8679, 13864, prop=0.60)

Excel:    no tiene función directa; se calcula el z a mano
          =2*DISTR.NORM.ESTAND.N(-ABS(z); VERDADERO)

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