Media geométrica y media armónica

1 · Definición

La media geométrica es la raíz $n$-ésima del producto de los valores:

$$G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

La media armónica es el inverso del promedio de los inversos:

$$H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}}$$

2 · Cuál corresponde en cada caso

Si los valores son…	Va la media…
Cantidades que se suman	Aritmética
Factores que se multiplican (tasas de crecimiento, índices)	Geométrica
Razones con el mismo numerador (velocidades, precios por unidad)	Armónica

La pregunta que resuelve la duda: ¿qué operación mantiene constante el resultado? Si al reemplazar todos los valores por la media el total se conserva, es aritmética. Si lo que se conserva es el producto, es geométrica.

3 · La media geométrica

Se usa cuando los valores se componen multiplicativamente, que es el caso de todo lo que crece a una tasa: precios, población, producción.

El procedimiento con tasas de crecimiento tiene una vuelta: no se promedian las tasas sino los factores $(1 + r_i)$, y al final se resta 1.

$$1 + \bar{r} = \sqrt[n]{(1+r_1)(1+r_2)\cdots(1+r_n)}$$

Por qué importa. Si un precio sube 50 % un año y baja 50 % al siguiente, la media aritmética de las tasas da 0 % y sugiere que quedó igual. No quedó igual: $1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75$, o sea que cayó un 25 %. La media geométrica lo refleja: $\sqrt{1{,}5 \times 0{,}5} = 0{,}866$, es decir $-13{,}4\,\%$ por período, que aplicado dos veces da exactamente el 0,75 final.

Dos propiedades:

• $G \le \bar{x}$ siempre, con igualdad solo si todos los valores son iguales. La distancia entre las dos medias crece con la dispersión.
• Requiere valores estrictamente positivos. Un solo cero anula el producto y un negativo rompe la raíz.

4 · La media armónica

Se usa para promediar razones cuando lo que se mantiene constante es el numerador. El caso escolar es la velocidad, y funciona bien como ilustración:

Un recorrido de ida y vuelta de 100 km por tramo, a 100 km/h la ida y 50 km/h la vuelta. La media aritmética diría 75 km/h. Pero el tiempo real es 1 hora más 2 horas = 3 horas para 200 km, o sea 66,7 km/h, que es exactamente la media armónica:

$$H = \frac{2}{\frac{1}{100} + \frac{1}{50}} = 66{,}7$$

Se cumple siempre que $H \le G \le \bar{x}$.

5 · Un ejemplo con datos reales

Las tres medias del ingreso de la ocupación principal (EPH, 1T 2026):

Media	Valor
Armónica	$448.586
Geométrica	$779.782
Mediana	$900.000
Aritmética	$1.104.227

Se ve la desigualdad $H < G < \bar{x}$, y se ve algo más: la media geométrica queda mucho más cerca de la mediana que la aritmética.

Eso no es casualidad. En distribuciones asimétricas a la derecha —como casi todas las de ingresos— la media geométrica es menos sensible a la cola larga, porque promedia en escala logarítmica. Por eso en economía se la usa para describir ingresos y precios, aunque para ese fin la mediana sigue siendo más fácil de explicar.

6 · Errores frecuentes

• Promediar tasas de crecimiento con la media aritmética. Sobreestima siempre. Si un índice creció 100 % y después cayó 50 %, el promedio aritmético dice 25 % de crecimiento por período cuando en realidad quedó igual.
• Promediar las tasas en vez de los factores. Hay que trabajar con $(1+r)$, no con $r$.
• Usar la geométrica con ceros o negativos. No está definida. Si hay ceros, esa variable pide otro tratamiento.
• Usar la armónica cuando lo constante es el denominador. Si los tramos fueran de igual duración y no de igual distancia, la media correcta sería la aritmética. Hay que identificar qué se mantiene fijo.
• Creer que la geométrica es “la media de una distribución asimétrica”. No es una alternativa universal a la aritmética: es la media correcta para magnitudes multiplicativas. Que además se porte bien con colas largas es un efecto lateral.

7 · En el software

# R — no hay función incorporada; se calcula con logaritmos
geometrica <- function(x) exp(mean(log(x)))
armonica   <- function(x) length(x) / sum(1 / x)

geometrica(datos$ingreso)

# Tasa media de crecimiento a partir de variaciones r
exp(mean(log(1 + r))) - 1

# Python
from scipy.stats import gmean, hmean
gmean(datos["ingreso"])
hmean(datos["ingreso"])

Excel:    =MEDIA.GEOM(rango)
          =MEDIA.ARMO(rango)

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