Función de distribución acumulada

1 · Definición

La función de distribución acumulada da la probabilidad de que la variable no supere un valor dado:

$$F(x) = P(X \le x)$$

2 · Sus propiedades

Nunca decrece. A medida que $x$ crece, la acumulada solo puede subir o quedarse igual.

Va de 0 a 1.

$$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$$

Forma. En variables discretas es una escalera con saltos en cada valor posible; la altura del salto es $p(x)$. En continuas es una curva suave.

Es exactamente la misma idea que la frecuencia acumulada de la descriptiva, y su gráfico es el equivalente teórico de la ojiva.

3 · Las cuatro probabilidades

Todo cálculo de probabilidades se reduce a combinar valores de $F$:

Se busca	Se calcula
$P(X \le a)$	$F(a)$
$P(X > a)$	$1 - F(a)$
$P(a < X \le b)$	$F(b) - F(a)$
$P(X = a)$, discreta	$F(a) - F(a^-)$

La segunda fila es la que más se usa y la que más se olvida: las tablas dan la acumulada por izquierda, y las preguntas suelen ser por derecha.

4 · El cuidado con los signos

En variables continuas da lo mismo:

$$P(X < a) = P(X \le a)$$

porque $P(X = a) = 0$.

En variables discretas no, y confundirlos es un error de cálculo frecuente:

$$P(X < 3) = F(2) \qquad\text{pero}\qquad P(X \le 3) = F(3)$$

Enunciado	En símbolos	Con $F$
“menos de 3”	$X < 3$	$F(2)$
“a lo sumo 3”	$X \le 3$	$F(3)$
“más de 3”	$X > 3$	$1 - F(3)$
“al menos 3”	$X \ge 3$	$1 - F(2)$

5 · La función inversa

Recorrida al revés, $F$ responde la otra pregunta: ¿qué valor deja por debajo una proporción dada?

$$F^{-1}(p) = x \quad\text{tal que}\quad P(X \le x) = p$$

Eso es exactamente un cuantil teórico, y es lo que se usa para obtener los valores críticos de un intervalo de confianza o de una prueba: el 1,96 del 95 % es $F^{-1}(0{,}975)$ de la normal estándar.

En R las dos direcciones tienen prefijos distintos: p para la acumulada y q para su inversa.

6 · Errores frecuentes

• Confundir $F(x)$ con $p(x)$. Una es acumulada, la otra puntual.
• Mezclar $<$ con $\le$ en variables discretas.
• Olvidar el complemento. Las tablas dan por izquierda; para “más de” hay que restar de 1.
• Buscar la acumulada en la tabla de densidad. Son columnas distintas.
• Creer que $F$ puede bajar. Si baja, hay un error.
• Confundir la inversa con la acumulada. pnorm y qnorm hacen cosas opuestas y se confunden todo el tiempo.

7 · En el software

# R — cuatro prefijos, una lógica
dnorm(x)      # densidad          f(x)
pnorm(x)      # acumulada         F(x) = P(X ≤ x)
qnorm(p)      # inversa           el valor que deja p por debajo
rnorm(n)      # genera n valores al azar

pnorm(1.96)        # 0.975
qnorm(0.975)       # 1.96
1 - pnorm(1.96)    # P(X > 1,96) = 0.025

# Python
from scipy import stats
stats.norm.cdf(1.96)      # 0.975
stats.norm.ppf(0.975)     # 1.96
stats.norm.sf(1.96)       # 1 − cdf, directamente

Excel:    =DISTR.NORM.N(x; media; desv; VERDADERO)   acumulada
          =INV.NORM(p; media; desv)                  inversa

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