Chi-cuadrado de homogeneidad

1 · Qué contrasta

Si varias poblaciones tienen la misma distribución en una variable categórica.

$$H_0: \text{las } k \text{ poblaciones se distribuyen igual}$$ $$\chi^{2} = \sum \frac{(O-E)^{2}}{E} \qquad gl = (f-1)(c-1)$$

2 · La diferencia con la de independencia

	Independencia	Homogeneidad
Muestras	una, clasificada por dos variables	varias, una por población
Qué está fijo	solo el total	los totales de cada grupo, por diseño
Pregunta	¿están asociadas las variables?	¿se distribuyen igual los grupos?
Ejemplo	13.864 asalariados clasificados por educación y registración	500 de cada provincia, clasificados por nivel educativo

Lo determinante es cómo se tomó la muestra. Si el investigador decidió de antemano cuántos casos de cada grupo iba a relevar, es homogeneidad; si tomó una muestra única y después la clasificó, es independencia.

3 · Un ejemplo

Se encuesta a 300 estudiantes de cada una de tres facultades —los tamaños los fijó el investigador— y se registra si aprobaron una materia:

	Aprobó	No aprobó	Total
Facultad A	210	90	300
Facultad B	195	105	300
Facultad C	240	60	300
Total	645	255	900

$H_0$: la proporción de aprobados es la misma en las tres facultades.

Los grados de libertad son $(3-1)(2-1) = 2$, y las esperadas salen igual que siempre: $300 \times 645 / 900 = 215$ aprobados en cada facultad.

4 · Cómo se redacta la conclusión

Es lo único que realmente cambia:

Prueba	Conclusión
Independencia	“El nivel educativo y la registración están asociados”
Homogeneidad	“La proporción de aprobados difiere entre las tres facultades”

La primera habla de una relación entre variables; la segunda, de una diferencia entre grupos. La distinción importa al escribir los resultados de una tesis, donde el lector evalúa si la conclusión se corresponde con el diseño.

5 · Después de rechazar

Con más de dos grupos, rechazar dice que al menos uno difiere, no cuál. Para identificarlo:

• Mirar los residuos estandarizados: los mayores a 2 en valor absoluto marcan las celdas responsables.
• Hacer comparaciones de a pares ajustando por comparaciones múltiples.

Es la misma lógica del ANOVA y sus pruebas post hoc.

6 · Errores frecuentes

• Redactar la conclusión de la prueba equivocada.
• Calcularla sobre porcentajes.
• Concluir cuál grupo difiere sin mirar residuos ni hacer comparaciones ajustadas.
• Aplicarla con esperadas chicas.
• Usarla con grupos no independientes.
• Creer que hay que usar una fórmula distinta. Es la misma.

7 · En el software

# R — la misma función que para independencia
tabla <- matrix(c(210, 195, 240, 90, 105, 60), nrow = 3)
chisq.test(tabla)              # X² = 17.24, df = 2, p = 0.00018

chisq.test(tabla)$stdres       # qué facultad se aparta

# Python
from scipy import stats
stats.chi2_contingency(tabla)

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