Tamaño de muestra con población finita

1 · La fórmula

Se calcula primero el tamaño sin corregir, $n_0$, y después se lo ajusta:

$$n = \frac{n_0}{1 + \dfrac{n_0 - 1}{N}}$$

2 · Cuánto cambia

Para un margen de ± 5 puntos con 95 % de confianza, $n_0 = 385$:

$N$	$n$ necesario	Fracción de la población
∞	385	—
100.000	384	0,4 %
10.000	370	3,7 %
5.000	357	7,1 %
1.000	278	27,8 %
500	218	43,5 %
200	132	66,0 %
140	103	73,6 %
50	45	89,3 %

Dos lecturas de esa tabla:

Con poblaciones grandes no cambia nada. De 10.000 en adelante el ajuste es marginal, y por eso las encuestas nacionales lo ignoran.

Con poblaciones chicas cambia muchísimo. Con $N = 140$ no hacen falta 385 casos —sería imposible—: alcanza con 103.

3 · Un ejemplo

Una tesis sobre los 140 docentes de una facultad, que quiere estimar una proporción con ± 5 puntos y 95 % de confianza:

$$n_0 = 385 \qquad n = \frac{385}{1 + \dfrac{384}{140}} = 103$$

Hacen falta 103 docentes, no 385. Y previendo un 15 % de no respuesta, hay que invitar a unos 121.

Fijate que 103 sobre 140 es el 74 % de la población. A esa altura vale la pena preguntarse si no conviene directamente censar: relevar los 140 cuesta poco más y elimina el error muestral por completo.

4 · La pregunta que hay que hacerse antes

Si el ajuste indica que hace falta relevar más de la mitad de la población, la diferencia de esfuerzo entre muestrear y censar es chica, y las ventajas del censo son grandes: no hay error muestral, no hay que justificar el diseño, se puede desagregar todo lo que se quiera.

Muestrear tiene sentido cuando ahorra trabajo de verdad. En poblaciones de menos de 200 unidades accesibles, casi nunca lo hace.

5 · Errores frecuentes

• No aplicarlo en poblaciones chicas. Es el error más común en tesis y lleva a pedir muestras imposibles.
• Aplicarlo en poblaciones grandes. No cambia nada y confunde.
• Confundir $N$ con el tamaño del marco disponible. $N$ es la población de referencia.
• No preguntarse si conviene censar. Si el ajuste pide el 70 % de la población, el censo está a un paso.
• Aplicarlo con muestreo no probabilístico. Si no hay probabilidades conocidas, no hay error muestral que ajustar.
• Olvidar la no respuesta después de corregir. Los dos ajustes van juntos y en ese orden.

6 · En el software

# R
n_finita <- function(N, e = 0.05, p = 0.5, conf = 0.95) {
  z  <- qnorm(1 - (1 - conf) / 2)
  n0 <- z^2 * p * (1 - p) / e^2
  ceiling(n0 / (1 + (n0 - 1) / N))
}
n_finita(140)     # 103
n_finita(1000)    # 278

# Python
import math
from scipy import stats
def n_finita(N, e=0.05, p=0.5, conf=0.95):
    z = stats.norm.ppf(1 - (1 - conf) / 2)
    n0 = z**2 * p * (1 - p) / e**2
    return math.ceil(n0 / (1 + (n0 - 1) / N))

Excel:    =REDONDEAR.MAS(n0/(1+(n0-1)/N); 0)

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  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Tamaño de muestra con población finita}},
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