Teorema de la probabilidad total

1 · El teorema

Si los eventos $A_1, A_2, \dots, A_k$ forman una partición —son excluyentes entre sí y cubren todo el espacio—, entonces para cualquier evento $B$:

$$P(B) = \sum_{i=1}^{k} P(A_i) \cdot P(B \mid A_i)$$

2 · La idea

Si un evento puede llegar por varios caminos excluyentes, su probabilidad total es la suma de lo que aporta cada camino. Y cada camino aporta el producto de dos cosas: la probabilidad de tomarlo y la probabilidad de que el evento ocurra una vez tomado.

Es útil cuando las condicionales son lo que se conoce —porque los datos vienen desagregados por subgrupo— y hace falta el total.

3 · Con datos reales

Los asalariados se parten en dos grupos según el nivel educativo, y en cada uno se conoce la probabilidad de empleo no registrado:

Grupo $A_i$	$P(A_i)$	$P(\text{no reg.} \mid A_i)$	Producto
Hasta secundario incompleto	0,2535	0,5891	0,1494
Secundario completo o más	0,7465	0,3042	0,2271
Total	1,0000		0,3764

$$P(\text{no registrado}) = 0{,}2535 \times 0{,}5891 + 0{,}7465 \times 0{,}3042 = 0{,}3764$$

que coincide con la marginal de la tabla. Cada fila es una rama del árbol y la suma de las ramas reconstruye el total.

4 · El diagrama de árbol

Es la forma visual del teorema, y para problemas de dos o tres etapas conviene dibujarlo antes de escribir nada:

• Cada nivel del árbol es una variable.
• Cada rama lleva una probabilidad condicional.
• Multiplicar a lo largo de un camino da la conjunta de ese camino.
• Sumar los caminos que llegan al mismo evento da su probabilidad total.

Dos controles que detectan casi cualquier error: las ramas que salen de un mismo nodo suman 1, y todas las hojas del árbol suman 1.

5 · Para qué se usa

Como paso previo a Bayes. El denominador del teorema de Bayes es siempre una probabilidad total; en la práctica, calcularlo es la mitad del trabajo.

Para tasas globales a partir de tasas por subgrupo. Una tasa de mortalidad general es la probabilidad total de las tasas por edad, ponderadas por la estructura poblacional. De ahí sale la necesidad de estandarizar cuando se comparan poblaciones con estructuras distintas.

En muestreo estratificado. El estimador global es exactamente esta suma ponderada de los estimadores por estrato.

6 · Errores frecuentes

• Promediar las condicionales sin ponderar. El error más común y el más costoso.
• Usar grupos que no forman partición. Tienen que ser excluyentes y exhaustivos; si se solapan o dejan casos afuera, el total sale mal.
• Multiplicar por la condicional equivocada. Cada $P(A_i)$ va con su propia $P(B \mid A_i)$.
• Confundir $P(B \mid A_i)$ con $P(A_i \mid B)$. Para esa inversión hace falta Bayes.
• No verificar que los pesos sumen 1.

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