Variable aleatoria

1 · Definición

Una variable aleatoria es una función que asigna un número a cada resultado posible de un experimento aleatorio.

2 · Para qué sirve

El espacio muestral de un experimento puede estar formado por cualquier cosa: caras y cecas, personas sanas o enfermas, colores. Sobre eso no se puede calcular una media ni un desvío.

La variable aleatoria traduce cada resultado a un número, y a partir de ahí se puede aplicar todo el aparato de la estadística: esperanza, varianza, distribuciones, inferencia.

3 · Un ejemplo

Experimento: tirar tres monedas.

Espacio muestral (8 resultados posibles):

CCC   CCX   CXC   XCC   CXX   XCX   XXC   XXX

Variable aleatoria $X$ = cantidad de caras. Cada resultado se traduce a un número:

Resultado	$X$
XXX	0
CXX, XCX, XXC	1
CCX, CXC, XCC	2
CCC	3

Ahora $X$ toma valores 0, 1, 2 y 3, y a cada uno le corresponde una probabilidad. Eso ya es una distribución de probabilidad.

4 · Discretas y continuas

Discreta. Toma un conjunto numerable de valores, con “huecos” entre ellos. Cantidad de caras, número de hijos, llamadas por hora. Su comportamiento se describe con una función de probabilidad, que asigna una probabilidad a cada valor.

Continua. Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Peso, tiempo, ingreso. Su comportamiento se describe con una función de densidad.

5 · Notación

Es una convención que confunde al principio y conviene fijar:

Símbolo	Qué es
$X$	La variable aleatoria (mayúscula)
$x$	Un valor concreto que puede tomar (minúscula)
$P(X = x)$	La probabilidad de que $X$ valga $x$
$P(X \le x)$	La probabilidad de que no supere $x$

"$P(X = 2) = 0{,}375$" se lee: la probabilidad de que la variable tome el valor 2 es 0,375.

6 · La diferencia con una variable estadística

Se parecen y no son lo mismo:

	Variable estadística	Variable aleatoria
Describe	Datos ya observados	Un experimento por realizarse
Se resume con	Frecuencias observadas	Probabilidades teóricas
Su centro	La media $\bar{x}$	La esperanza $E(X)$
Pertenece a	La descriptiva	La probabilidad

Y están conectadas: cuando el número de observaciones crece, las frecuencias relativas observadas se acercan a las probabilidades teóricas. Esa conexión es la ley de los grandes números, y es lo que hace que la probabilidad sirva para describir el mundo.

7 · Errores frecuentes

• Confundir la variable con sus valores. $X$ es la función; $x$ es un número.
• Creer que “aleatoria” significa impredecible. Significa que su valor depende del azar, no que no se pueda decir nada: justamente se puede describir su distribución completa.
• Buscar $P(X = x)$ en una variable continua. Es cero. Hay que preguntar por intervalos.
• Confundir discreta con “pocos valores”. Una discreta puede tomar infinitos valores —todos los enteros—; lo que la define es que sean numerables y separados.
• Tratar una variable estadística como aleatoria sin declarar el modelo. Decir que el ingreso “es normal” es una suposición sobre el mecanismo, no un dato observado.

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