Regla de la suma

1 · La regla

La probabilidad de que ocurra $A$, $B$ o los dos:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Si los eventos son mutuamente excluyentes, la intersección vale cero y queda la versión simple:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

2 · Por qué se resta

Porque al sumar $P(A)$ y $P(B)$, los casos que están en los dos eventos se cuentan dos veces: una en cada término. Restar la intersección los deja contados una sola vez.

Se ve directamente en el diagrama de Venn: la zona superpuesta pertenece a los dos círculos, y sumar las dos áreas la incluye dos veces.

3 · Un ejemplo con datos reales

De la tabla de asalariados de la EPH:

Sea $A$ = “no terminó el secundario” ($P = 0{,}2535$) y $B$ = “tiene empleo no registrado” ($P = 0{,}3764$). La intersección —las dos cosas— vale 0,1494.

$$P(A \cup B) = 0{,}2535 + 0{,}3764 - 0{,}1494 = 0{,}4805$$

El 48 % de los asalariados tiene al menos una de las dos condiciones. Sumar sin restar habría dado 0,6299, que sobreestima en 15 puntos porcentuales: exactamente la proporción que cumple las dos cosas y quedaba contada doble.

4 · Tres eventos

La regla se extiende sumando y restando alternadamente —el principio de inclusión-exclusión—:

$$P(A \cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$

Se resta cada par porque quedó contado dos veces, y se vuelve a sumar la triple porque las restas anteriores la eliminaron por completo.

5 · El camino del complemento

Es el atajo que conviene tener como primera opción:

$$P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno})$$

Si la probabilidad de que una prueba diagnóstica falle es 0,05 y se aplican tres pruebas independientes, la probabilidad de que al menos una falle es

$$1 - 0{,}95^{3} = 1 - 0{,}8574 = 0{,}1426$$

Calcularlo con inclusión-exclusión daría lo mismo y llevaría siete términos.

6 · Errores frecuentes

• Sumar sin restar la intersección. El error central de la regla; se detecta solo cuando el resultado supera 1.
• Restar la intersección cuando los eventos son excluyentes. Vale cero, pero si se la estima mal se introduce un error.
• Confundir “o” con “y”. La suma es para la unión; el producto, para la intersección.
• Leer “o” como exclusivo. En probabilidad, ”$A$ o $B$” incluye que ocurran los dos. Si el enunciado pide “exactamente uno”, hay que restar dos veces la intersección.
• Sumar probabilidades condicionales de distintos condicionantes. Solo se suman las que comparten la misma condición.
• Aplicarla a eventos de experimentos distintos sin pensar si se superponen.

@misc{estadistica_ar_regla_de_la_suma,
  author       = {Montivero, Jorge Luis},
  title        = {{Regla de la suma}},
  year         = {2026},
  howpublished = {\url{https://estadistica.ar/conceptos/regla-de-la-suma}},
  note         = {estadistica.ar. Consultado el \today},
  urldate      = {2026-09-18}
}