Análisis de componentes principales

1 · Qué hace

Construye nuevas variables —los componentes— que son combinaciones lineales de las originales, con dos propiedades:

1. El primero captura la mayor varianza posible; el segundo, la mayor que queda; y así.
2. Todos son no correlacionados entre sí.

2 · El ejemplo

Diez indicadores de 32 aglomerados:

Componente	Valor propio	Varianza	Acumulada
CP1	3,461	34,6 %	34,6 %
CP2	2,265	22,6 %	57,3 %
CP3	1,491	14,9 %	72,2 %
CP4	1,343	13,4 %	85,6 %

Dos componentes resumen el 57 % de la información de diez variables; cuatro, el 86 %.

3 · Cómo se interpreta un componente

Por sus cargas: cuánto pesa cada variable original en él.

Variable	Carga en CP1
Ingreso medio	+0,446
Ingreso mediano	+0,429
Edad media	+0,370
No registrados	−0,334
Actividad	+0,329

Los puntajes son la posición de cada caso en el componente: CABA tiene +5,73 y Concordia −3,41.

4 · Cuántos componentes retener

Criterio	Regla	En el ejemplo
Kaiser	valor propio > 1	4 componentes
Varianza acumulada	llegar al 70-80 %	3 o 4
Gráfico de sedimentación	buscar el codo	visual
Análisis paralelo	comparar contra datos al azar	el más riguroso
Interpretabilidad	los que tengan sentido	el criterio final

5 · Para qué se usa

Reducir dimensiones antes de otro análisis: clusters, regresión, visualización.

Visualizar datos de muchas dimensiones en dos.

Construir índices sintéticos: el primer componente es un índice con ponderaciones derivadas de los datos.

Resolver multicolinealidad: los componentes son ortogonales por construcción.

Detectar atípicos multivariados, que aparecen alejados en el plano.

6 · Sus límites

• Solo captura relaciones lineales.
• Es sensible a la escala: sin estandarizar, domina la variable de mayor varianza.
• Es sensible a los atípicos.
• El signo de un componente es arbitrario: los programas pueden devolver el eje invertido, y eso no cambia nada.

7 · PCA y análisis factorial

Se confunden constantemente y responden preguntas distintas:

	PCA	Factorial
Objetivo	resumir la varianza	explicar las correlaciones
Modelo	transformación algebraica	modelo estadístico con error
Componentes/factores	combinaciones de las variables	causas latentes de las variables
Varianza que analiza	toda	solo la compartida

8 · Errores frecuentes

• No estandarizar con variables en unidades distintas.
• Retener componentes solo por el criterio de Kaiser.
• Nombrar un componente que no tiene una interpretación clara.
• Interpretar el signo como si tuviera significado propio.
• Usarlo con correlaciones cercanas a cero: no hay nada que reducir.
• Confundirlo con el análisis factorial.
• Usar los componentes en una regresión y perder toda interpretabilidad sin ganancia real.

9 · En el software

# R
pca <- prcomp(X, scale. = TRUE)      # scale. = TRUE estandariza
summary(pca)                         # varianza explicada
pca$rotation[, 1:2]                  # las cargas
pca$x[, 1:2]                         # los puntajes

screeplot(pca, type = "lines")
biplot(pca)

psych::fa.parallel(X, fa = "pc")     # análisis paralelo

# Python
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

Z = StandardScaler().fit_transform(X)
pca = PCA().fit(Z)
pca.explained_variance_ratio_
pca.components_[:2]                  # cargas
pca.transform(Z)[:, :2]              # puntajes

SPSS:     Analizar › Reducción de dimensiones › Factor
          (con método de extracción "Componentes principales")

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