Regresión de Poisson

1 · Cuándo se usa

Cuando la variable de respuesta es un conteo: cantidad de consultas, de accidentes, de casos, de reincidencias.

$$\ln(\mu) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots + \beta_k x_k$$

2 · Cómo se interpretan los coeficientes

Igual que en la logística, hay que exponenciar:

$$e^{\beta_j} = \text{razón de tasas de incidencia (IRR)}$$

$e^{\beta}$	Significado
1,0	sin efecto
1,5	la tasa se multiplica por 1,5: 50 % más de eventos
0,7	30 % menos de eventos

La lectura completa: “manteniendo constantes las demás variables, un aumento de una unidad en $x_j$ multiplica la cantidad esperada de eventos por $e^{\beta_j}$”.

3 · El término de exposición

Casi siempre los conteos no son comparables porque corresponden a períodos, poblaciones o áreas distintas.

La solución es un offset: el logaritmo de la exposición, con coeficiente fijo en 1.

$$\ln(\mu) = \ln(\text{exposición}) + \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots$$

que equivale a modelar la tasa:

$$\ln\left(\frac{\mu}{\text{exposición}}\right) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots$$

4 · La sobredispersión

La Poisson supone $\text{Var}(Y) = E(Y)$. En datos reales, casi nunca se cumple: la varianza suele ser bastante mayor.

Cómo se detecta: la devianza residual dividida por sus grados de libertad debería rondar 1. Valores de 2 o más indican sobredispersión.

Por qué importa: los errores estándar salen demasiado chicos, así que todo parece significativo.

Solución	Comentario
Binomial negativa	la más usada; agrega un parámetro de dispersión
Quasi-Poisson	corrige los errores estándar sin cambiar los coeficientes
Errores robustos	alternativa simple
Modelos con inflación de ceros	si el problema son los ceros de más

5 · Dónde se usa

• Epidemiología: tasas de incidencia, casos por persona-año.
• Demografía: nacimientos o defunciones por población expuesta.
• Seguridad vial: accidentes por kilómetro recorrido.
• Industria: defectos por unidad producida.
• Criminología: delitos por habitante.

6 · Alternativas según el problema

Situación	Modelo
Conteo simple	Poisson
Sobredispersión	binomial negativa
Exceso de ceros	Poisson o binomial negativa inflada en cero
Ceros imposibles	modelo truncado
Conteo con máximo conocido	binomial, no Poisson
Tasa con exposición	Poisson con offset

7 · Errores frecuentes

• Olvidar el offset cuando las unidades tienen exposiciones distintas.
• No verificar la sobredispersión.
• Interpretar los coeficientes sin exponenciar.
• Usar regresión lineal con conteos, sobre todo si hay muchos valores chicos.
• Transformar el conteo con raíz o logaritmo en lugar de usar el modelo adecuado —y el $\log(0)$ ni siquiera existe—.
• Usar Poisson con un máximo conocido.

8 · En el software

# R
modelo <- glm(casos ~ edad + sexo, data = d, family = poisson)
summary(modelo)
exp(cbind(IRR = coef(modelo), confint(modelo)))

# Con exposición
glm(casos ~ edad + sexo + offset(log(poblacion)), data = d, family = poisson)

# Verificar sobredispersión
summary(modelo)$deviance / summary(modelo)$df.residual
AER::dispersiontest(modelo)

# Si hay: binomial negativa
MASS::glm.nb(casos ~ edad + sexo, data = d)

# Python
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
smf.glm("casos ~ edad + sexo", data=d, family=sm.families.Poisson(),
        offset=np.log(d.poblacion)).fit()

smf.glm("casos ~ edad + sexo", data=d,
        family=sm.families.NegativeBinomial()).fit()

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